Integral Tak-Tentu

A. Pengertian Integral

Integral merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan atau invers dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Kalau suatu fungsi f(x) dibalik menjadi f’(x) maka itu merupakan turunan. Nah, jika f’(x) dibalik lagi menjadi f(x), maka itu merupakan integral. Integral dapat diaplikasikan dalam penentuan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva fungsi, volume benda padat, dan beberapa aplikasi lainnya.

Lambang \(\int\) menyatakan operasi integral, diperkenakan pertama kali oleh ilmuwan bangsa Jerman Bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

B. Pengertian Integral Tak Tentu

Pada kalkulus diferensial telah dibicarakan cara-cara menentukan fungsi \(\int\) merupakan turunan, misalnya suatu fungsi f merupakan turunan dari fungsi F, maka \(F'\left(x\right)=\frac{dF\left(x\right)}{d\left(x\right)}\).

Misal:

\(F\left(x\right)=x^2 \) maka f(x)=2x

\(F\left(x\right)=x^2-5\) maka f(x)=2x

\(F\left(x\right)=x^2+10\) maka f(x)=2x

\(F\left(x\right)=x^2+c\) maka f(x)=2x, (c = konstan)

Integral tak tentu (bahasa Inggris: indefinite integral), atau disebut sebagai antiturunan atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut "integral tak tentu". Integral tak tentu dinyatakan sebagai \(\int f\left(x\right)=f\left(x\right)dx\) (dibaca "integral dari f(x) terhadap x") adalah fungsi umum yang ditentukan melelui hubungan:

\[\int f\left(x\right)=F\left(x\right)+c\]

dengan:

F(x) dinamakan fungsi integral umum dan F'(x)=f(x),

 f(x) dinamakan fungsi integran,

c adalah konstanta pengintegralan (konstanta real sebarang).

Dari contoh di atas, dapat ditulis : 

\(\int2x\;dx=x^2+C\)

C. Rumus-Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya dan c adalah konstanta real, maka:

1. \(\int dx=x+C\)

2. \(\int k\;dx=kx+C\)

3. \(\int\left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}dx\;=\int g\left(x\right)dx\)

4. \(\int k\;f\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx\)

5. Dalam kasus \(n\neq-1\), maka:

a. \(\int x^ndx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C\)

b. \(\int k\;x^ndx=\frac k{n+1}x^{n+1}+C\)

6. Dalam kasus n=-1, maka:

a. \(\int\frac1x=ln\;x\;+C\)

b. \(\int\frac kx=k\;ln\;x\;+C\)

Contoh:

1. \(\int5x^2dx=\frac5{2+1}x^{2+1}+C=\frac53x^3+C\)

2. \(\int\frac1{x^3}dx=\int x^{-3}dx=\frac1{-2}x^2+C=-\frac1{2x^2}+C\)

Terima kasih telah mampir😊