Integral Fungsi Rasional Kuadrat

Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat

    Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan \(n\) parsial \(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac A{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^2+qx+r}\), berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A, B, dan C.

Contoh :

1. \(\int\frac{6x^2-3x+1}{\left(4x+1\right)\left(x^2+1\right)}dx\)

Karena integran fungsi rasional sejati, maka

\(\int\frac{6x^2-3x+1}{\left(4x+1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\int\frac A{\left(4x+1\right)}+\frac{Bx+C}{\left(x^2+1\right)}dx\)

\(=\int\frac{A\left(x^2+1\right)+\left(Bx+C\right)\left(4x+1\right)}{\left(4x+1\right)\left(x^2+1\right)}dx\)

\(=\int\frac{\left(A+4B\right)x^2+\left(B+4C\right)x+\left(A+C\right)}{\left(4x+1\right)\left(x^2+1\right)}dx\)

Diperoleh \(A+4B=6\), \(\left(B+4C\right)=-3\), \(\left(A+C\right)=1\) atau \(A=2\), \(B=1\), dan \(C=-1\) sehingga :

\(\int\frac{6x^2-3x+1}{\left(4x+1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\int\frac2{\left(4x+1\right)}+\frac{x-1}{\left(x^2+1\right)}dx\)

\(=\int\frac2{\left(4x+1\right)}dx+\int\frac x{\left(x^2+1\right)}dx-\int\frac1{\left(x^2+1\right)}dx\)

\(=\frac24\ln\left|4x+1\right|+\frac12\ln\left|x^2+1\right|-arc\tan\;x+C\)

2. \(\int\frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}dx\)

Integran merupakan fungsi rasional sejati, maka

\(\int\frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}dx=\int\frac{x^3+x^2+x+2}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}dx\)

\(=\int\frac{Ax+B}{\left(x^2+1\right)}+\frac{Cx+D}{\left(x^2+2\right)}dx\)

\(=\int\frac{\left(Ax+B\right)\left(x^2+2\right)+\left(Cx+D\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}dx\)

\(=\int\frac{\left(A+C\right)x^3+\left(B+D\right)x^2+\left(2A+C\right)x+\left(2B+D\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}dx\)

Diperoleh \(A+C=1\), \(B+D=1\), \(2A+C=1\), \(2B+D=2\) atau \(A=0\), \(B=1\), \(C=1\), \(D=0\) sehingga:

\(\int\frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}dx=\int\frac1{\left(x^2+1\right)}+\frac x{\left(x^2+2\right)}dx\)

\(=\int\frac1{\left(x^2+1\right)}dx+\int\frac x{\left(x^2+2\right)}dx\)

\(=arc\tan\;x+\frac12\ln\left|x^2+2\right|+C\)

3. \(\int\frac{x^3-8x^2-1}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)}dx\)

Penyebut adalah kombinasi linear berbeda \(\left(x+3\right)\) dan \(\left(x-2\right)\) dengan kuadrat \(\left(x^2+1\right)\), sehingga

\(\int\frac{x^3-8x^2-1}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)}dx\)

\(=\int\frac A{\left(x+3\right)}+\frac B{\left(x-2\right)}+\frac{Cx+D}{\left(x^2+1\right)}dx\)

\(=\int\frac{A\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)+B\left(x+3\right)\left(x^2+1\right)+\left(Cx+D\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)}dx\)

\(=\int\frac{\left(A+B+C\right)x^3+\left(-2A+3B+C+D\right)\left(x^2\right)+\left(A+B+D-6C\right)x+\left(-2A+3B-6D\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)}dx\)

Maka diperoleh

\(A+B+C=1\), \(-2A+3B+C+D=-8\), \(A+B+D-6C=0\), \(-2A+3B-6D=-1\)

atau \(A=2\), \(B=-1\), \(C=0\), \(D=-1\)

\(\int\frac A{\left(x+3\right)}+\frac B{\left(x-2\right)}+\frac{Cx+D}{\left(x^2+1\right)}dx\)

\(=\int\frac2{\left(x+3\right)}+\frac{-1}{\left(x-2\right)}+\frac{-1}{\left(x^2+1\right)}dx\)

\(=2\ln\left|x+3\right|-\ln\left|x-2\right|-arc\tan\;x+C\)

\(=\ln\left|x+3\right|^2-\ln\left|x-2\right|-arc\tan\;x+C\)

\(=\ln\left|\frac{\left(x+3\right)^2}{\left(x-2\right)}\right|-arc\tan\;x+C\)

Jadi, \(\int\frac{x^3-8x^2-1}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)}dx=\ln\left|\frac{\left(x+3\right)^2}{\left(x-2\right)}\right|-arc\tan\;x+C\)

Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x

    Fungsi \(F\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\), \(g\left(x\right)\neq0\), \(f\left(x\right)\) dan \(g\left(x\right)\) memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan \(f\left(x\right)\;=\;\sin\;x\) dan \(f\left(x\right)=\;\cos\;x\) tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan Metode Substitusi.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat \(f\left(x\right)\;=\;\sin\;x\) atau \(f\left(x\right)=\;\cos\;x\).

1. \(F\left(x\right)=\frac{1-\sin\;x}{\cos\;x}\)

2. \(F\left(x\right)=\frac{1+\sin\;x+\cos\;x}{\sin\;x}\)

3. \(F\left(x\right)=\frac{5\;\sin\;x+2}{\cos\;x}\)

4. \(F\left(x\right)=\frac1{1+\sin\;x-\cos\;x}\)

5. \(F\left(x\right)=\frac2{1+\sin\;x-\cos\;x}\)

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah :

1. \(\int\frac{dx}{1+\sin\;x-\cos\;x}\)

2. \(\int\frac{dx}{2+\cos\;x}\)

3. \(\int\frac{dx}{1+\sin\;x+\cos\;x}\)

4. \(\int\frac{1+2\sin\;x+\cos\;x}{\sin\;x}dx\)

5. \(\int\frac1{3-2\sin\;x}dx\)

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi \(x=2\;arc\tan\;z\) sehingga \(dx=\frac2{1+z^2}dz\).

 Selanjutnya \(sin x\) dan \(cos x\) disubstitusi ke bentuk variabel z.

Karena \(x=2\;arc\tan\;z\) maka :

\(\Leftrightarrow x=2\;arc\tan\;z\)

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

\(1+\tan^2\;\left(\frac x2\right)=sec^2\;\left(\frac x2\right)\)

\(\Leftrightarrow1+z^2=sec^2\;\left(\frac x2\right)\)

\(\Leftrightarrow\cos^2\;\left(\frac x2\right)=\frac1{1+z^2}\)

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

\(\sin^2\;x+\cos^2\;x=1\)

\(\Leftrightarrow\sin^2\;\left(\frac x2\right)+\cos^2\;\left(\frac xz\right)=1\), sehingga didapat

\(\Leftrightarrow\sin^2\;\left(\frac x2\right)=1-\frac1{1+z^2}\)

\(\Leftrightarrow\sin^2\;\left(\frac x2\right)=\frac{z^2}{1+z^2}\)

Dengan rumus jumlah cosinus didapat :

\(\cos\;2x=\cos^2\;x-\sin^2\;x\)

\(\Leftrightarrow\cos\;x=\cos^2\;\left(\frac x2\right)-\sin^2\;\left(\frac x2\right)\)

\(\Leftrightarrow\cos\;x=\frac1{1+z^2}-\frac{z^2}{1+z^2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\;x=\frac{1-z^2}{1+z^2}\)

Dengan rumus jumlah sinus didapat :

\(\sin\;2x=2\;\sin\;x\;\cos\;x\)

\(\Leftrightarrow\sin\;x=2\;\sin\;\left(\frac x2\right)\;\cos\;x\;\left(\frac x2\right)\)

\(\Leftrightarrow\sin\;x=2\;\sqrt{\frac{z^2}{1+z^2}}\sqrt{\frac1{1+z^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sin\;x=\frac{2z}{1+z^2}\)

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

\(x=2\;arc\tan\;z\), \(sin\;x=\frac{2z}{1+z^2}\), \(cos\;x=\frac{1-z^2}{1+z^2}\)

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Tentukan penyelesaian dari

1. \(\int\frac{dx}{1+\sin\;x+\cos\;x}\)

Jawab

\(\int\frac{dx}{1+\sin\;x+\cos\;x}=\int\frac{{\displaystyle\frac2{1+z^2}}dz}{1+\frac{2z}{1+z^2}+\frac{1-z^2}{1+z^2}}\)

\(=\int\frac{\displaystyle\frac{2dz}{1+z^2}}{\frac{1+z^2}{1+z^2}+\frac{2z}{1+z^2}+\frac{1-z^2}{1+z^2}}\)

\(=\int\frac{2dz}{2+2z}\)

\(=\int\frac{dz}{1+z}\)

\(=\ln\left|1+z\right|+C\)

\(=\ln\left|1+\tan\frac x2\right|+C\)

2. \(\int\frac{dx}{2-\cos\;x}\)

Jawab

\(\int\frac{dx}{2-\cos\;x}=\int\frac{\displaystyle\frac{2dx}{1+z^2}}{2-{\displaystyle\frac{1-z^2}{1+z^2}}}\)

\(=\int\frac{\displaystyle\frac{2dx}{1+z^2}}{\frac{2\left(1-z^2\right)}{1+z^2}-{\displaystyle\frac{1-z^2}{1+z^2}}}\)

\(=\int\frac{2dz}{1+3z^2}\\=\frac23\int\frac{dz}{\left({\displaystyle\frac1{\sqrt3}}\right)^2+z^2}\)

\(=\frac23\sqrt3arc\tan\;\left(\frac z{\displaystyle\frac1{\sqrt3}}\right)+C\)

\(=\frac2{\sqrt3}arc\tan\;\sqrt3z+C\)

\(=\frac2{\sqrt3}arc\tan\;\sqrt3\left(\tan\frac x2\right)+C\)

3. \(\int\frac{dx}{3+5\;\sin\;x}\)

Jawab

\(\int\frac{dx}{3+5\;\sin\;x}=\int\frac{\displaystyle\frac{2dz}{1+z^2}}{3-5\frac{2z}{1+z^2}}\)

\(=\int\frac{2dz}{3+3z^2+10z}\)

\(=\int\frac{2dz}{\left(3z+1\right)\left(z+3\right)}\)

\(=\int\frac A{\left(3z+1\right)}+\frac B{\left(z+3\right)}dz\)

\(=\int\frac{\left(A+3B\right)z+\left(A+B\right)}{\left(3z+1\right)\left(z+3\right)}dz\)

Diperoleh \(A+3B=0\), \(A+B=2\) atau \(A=3\) dan \(B=-1\) sehingga

\(\int\frac{dx}{3+5\;\sin\;x}=\int\frac3{\left(3z+1\right)}-\frac1{\left(z+3\right)}dz\)

\(=3\ln\left|3z+1\right|-\ln\left|z+3\right|+C\)

\(=3\ln\left|3\tan\frac x2\right|-\ln\left|\tan\frac x2+3\right|+C\)