Integral Fungsi Rasional Linear

Integral Fungsi Rasional Faktor Linear

    Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk \(F\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\), dimana \(f\left(x\right)\), \(g\left(x\right)\) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan \(g\left(x\right)\neq0\). Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan \(f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_nx^n\), \(n=1,2,3,\;...\), sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk \(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Contoh

1. \(F\left(x\right)=\frac{1-x}{x^2-3x+2}\) (Fungsi Rasional Sejati)

2. \(F\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}\) (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

3. \(F\left(x\right)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}\) (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

    Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga :

\(F\left(x\right)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}=x^2-3+\frac{\left(14x+1\right)}{x^3+5x}\)

\(F\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\),\(g\left(x\right)\neq0\).

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati,

2. Faktorkan penyebut \(g\left(x\right)\) dari fungsi rasional \(F\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam langkah nomor 2 di atas, \(g\left(x\right)\) dapat berupa kombinasi antara :

    - fungsi linear berbeda, \(g\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)...\left(x-t\right)\) dstnya.

    - fungsi linear berulang, \(g\left(x\right)\) \(=\left(x-a\right)^n\) \(=\left(x-a\right)\left(x-a\right)\left(x-a\right)\) ... \(\left(x-a\right)\)

    - fungsi linear dan kuadrat, \(g\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(ax^2+bx+c\right)\)

    - fungsi kuadrat berbeda, \(g\left(x\right)=\left(ax^2+bx+c\right)\left(px^2+qx+c\right)\)

    - fungsi kuadrat berulang, \(g\left(x\right)=\left(ax^2+bx+c\right)^n\) dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal :

\(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{A_1}{\left(ax_1+b_1\right)}+\frac{A_2}{\left(ax_2+b_2\right)}+\) ... (Penyebut kombinasi linear berbeda)

\(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{A_1}{\left(ax+b\right)}+\frac{A_2}{\left(ax+b\right)^2}+\frac{A_3}{\left(ax+b\right)^3}+\) ... (kombinasi linear berulang)

\(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{A_1x+B_1}{\left(a_1x^2+b_1x+c_1\right)}+\frac{A_2}{\left(a_2x^2+b_2x+c_2\right)}+\) ... (kombinasi kuadrat berbeda)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta \(A_1,\;A_{2,}...,\;A_n\) dan \(B_1,\;B_{2,}...,\;B_n\).

Contoh

1. Tentukan \(\int\frac2{x^2-1}dx\)

Karena integran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran : 

\(\int\frac2{x^2-1}dx=\int\frac2{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}dx\)

\(=\int\frac A{\left(x-1\right)}+\frac B{\left(x+1\right)}dx\)

\(=\int\frac{A\left(x+1\right)+B\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}dx\)

\(=\int\frac{\left(A+B\right)x+\left(A-B\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}dx\)

Diperoleh \(A+B=0, A-B=2\) atau \(A=1, B=-1\) sehingga :

\(\int\frac2{x^2-1}dx=\int\frac1{\left(x-1\right)}+\frac{-1}{\left(x+1\right)}dx\)

\(=\int\frac1{\left(x-1\right)}dx-\int\frac1{\left(x+1\right)}dx\)

\(=\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\)

2. \(\int\frac{x+1}{x-1}dx\) integran fungsi rasional tidak sejati, maka :

\(\int\frac{x+1}{x-1}dx=\int1+\frac2{x-1}\)

\(=\int dx+\int\frac2{x-1}\)

\(=x+\ln\left|x-1\right|^2+C\)

Contoh soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut!

1. \(\int\frac{x+1}{x^3+x^2-6x}dx\)

Jawab

\(\int\frac{x+1}{x^3+x^2-6x}dx=\int\frac{x+1}{x\left(x-2\right)\left(x+3\right)}dx\)

\(=\int\frac Ax+\frac B{\left(x-2\right)}+\frac C{\left(x-3\right)}\)

\(=\int\frac{A\left(x-2\right)\left(x-3\right)+B\left(x\right)\left(x+3\right)+C\left(x\right)\left(x-2\right)}{x^3+x^2-6x}dx\)

\(=\int\frac{\left(A+B+C\right)x^2+\left(A+3B-2C\right)x-6A}{x^3+x^2-6x}dx\)

Diperoleh

\(A+B+C=0\)

\(A+3B-2C=1\)

\(-6A=1\)

atau \(A=-\frac16, B=\frac3{10}, C=-\frac2{15}\)

Sehingga

\(\int\frac{x+1}{x^3+x^2-6x}dx=-\frac16\int\frac{dx}x+\frac3{10}\int\frac{dx}{\left(x-2\right)}-\frac2{15}\int\frac{dx}{\left(x+3\right)}\)

\(=-\frac16\ln\left|x\right|+\frac3{10}+\ln\left|x-2\right|-\frac2{15}\ln\left|x+3\right|+C\)

2. \(\int\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}dx\)

Jawab

\(\int\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}dx=\int1+\frac{5x+4}{x^2-2x-8}dx\), (menurut teorema 2.2)

\(=\int1dx+\int\frac{5x+4}{x^2-2x-8}dx\)

\(=x+C_1+\int\frac{5x+4}{x^2-2x-8}dx\)

\(\int\frac{5x+4}{x^2-2x-8}dx=\int\frac A{x-4}+\frac B{x+2}dx\), (menurut teorema 2.2)

\(=\int\frac{A\left(x+2\right)+B\left(x-4\right)}{x^2-2x-8}dx\)

\(=\int\frac{\left(A+B\right)x+\left(2A-4B\right)}{x^2-2x-8}dx\)

Diperoleh \(A+B=5,\;2A-4B=4\)

atau \(A=4, B=1\)

Sehingga

\(\int\frac{5x+4}{x^2-2x-8}dx=\int\frac4{x-4}+\frac1{x+2}dx\)

\(=4\ln\left|x-4\right|+\ln\left|x+2\right|+C\\=\ln\left|x-4\right|^4+\ln\left|x+2\right|+C\)

\(=\ln\left|\left(x-4\right)^4\left(x+4\right)\right|+C\)

Jadi, \(\int\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}dx=x+\ln\left|\left(x-4\right)^4\left(x+4\right)\right|+C\)

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)

1. \(\int\frac{x+1}{x^2-4x+4}dx\)

Karena integran adalah fungsi rasional sejati maka :

\(\int\frac{x+1}{x^2-4x+4}dx=\int\frac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x-2\right)}dx\)

\(=\int\frac{x+1}{\left(x-2\right)^2}dx\)

\(=\int\frac A{x-2}+\frac B{\left(x-2\right)^2}dx\)

\(=\int\frac{A\left(x-2\right)+B}{\left(x-2\right)^2}dx\)

\(=\int\frac{Ax+\left(B-2A\right)}{\left(x-2\right)^2}dx\)

Sehingga diperoleh

\(A=1, B-2A=1\) atau \(A=1\) dan \(B=3\), sehingga

\(int\frac{x+1}{x^2-4x+4}dx=\int\frac A{x-2}+\frac B{\left(x-2\right)^2}dx\)

\(=\int\frac A{x-2}+\frac B{\left(x-2\right)^2}dx\)

\(=\int\frac1{\left(x-2\right)}dx+\int\frac3{\left(x-2\right)^2}dx\)

\(=\ln\left|x-2\right|-\frac3{\left(x-2\right)}+C\)

2. \(\int\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}dx\)

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga :

\(\int\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}dx=\int1+\frac{\left(-5x-4\right)}{x^2+4x+4}dx\)

\(=\int1dx-\int\frac{5x+4}{x^2+4x+4}dx\)

\(=x+C_1-\int\frac{5x+4}{x^2+4x+4}dx\)

Selanjutnya \(\int\frac{5x+4}{x^2+4x+4}dx=\int\frac{5x+4}{\left(x+2\right)^2}dx\)

\(=\int\frac A{x+2}+\frac B{\left(x+2\right)^2}dx\)

\(=\int\frac{A\left(x+2\right)+B}{\left(x-2\right)^2}dx\)

\(=\int\frac{Ax+\left(2A+B\right)}{\left(x-2\right)^2}dx\)

Diperoleh \(A=5\), \(2A+B=4\) atau \(A=5\), \(B=-6\), sehingga :

\(\int\frac{5x+4}{x^2+4x+4}dx=\int\frac5{\left(x+2\right)}dx-\int\frac6{\left(x+2\right)^2}dx\)

\(=5\ln\left|x-2\right|+\frac6{\left(x+2\right)}+C\)

\(Jadi,\;\int\frac{x^2-1}{x^2+4x+4}dx=x+5\ln\left|x-2\right|+\frac6{\left(x+2\right)}+C\)

3. \(\int\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}dx\)

Integran fungsi rasional sejati, sehingga :

\(\int\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}dx=\int\frac{3x+5}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}dx\)

\(=\int\frac A{\left(x+1\right)}+\frac B{\left(x-1\right)}+\frac C{\left(x-1\right)^2}dx\)

\(=\int\frac{A\left(x-1\right)^2+B\left(x-1\right)\left(x+1\right)+C\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}dx\)

\(=\int\frac{\left(A+B\right)x^2+\left(C-2A\right)x+\left(A-B+C\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}dx\)

Diperoleh

\(A+B=0\), \(C-2A=3\), \(A-B+C=5\) atau \(A=\frac12\), \(B=-\frac12\), \(C=4\), sehingga

\(\int\frac{3x+5}{x^3-x^2-x+1}dx=\int\frac{\displaystyle\frac12}{\left(x+1\right)}-\frac{\displaystyle\frac12}{\left(x-1\right)}+\frac4{\left(x-1\right)^2}dx\)

\(=\frac12\int\frac{\displaystyle dx}{\left(x+1\right)}-\frac12\int\frac{\displaystyle dx}{\left(x-1\right)}-4\int\frac{\displaystyle dx}{\left(x-1\right)^2}\)

\(=\frac12\ln\left|x+1\right|-\frac12\ln\left|x-1\right|-\frac4{\left(x-2\right)}+C\)

4. \(\int\frac{x^6-4x^3+4}{x^3-4x^2}dx\)

Integran bukan fungsi rasional sejati, maka : 

\(\int\frac{x^6-4x^3+4}{x^3-4x^2}dx=\int x^3-4x^2+16x+68+\frac{272x^2+4}{x^3-4x^2}dx\)

\(=\int x^3-4x^2+16x+68dx+\int\frac{272x^2+4}{x^3-4x^2}dx\)

\(=\frac14x^4+\frac43x^3+8x^2+68x+\int\frac{272x^2+4}{x^3-4x^2}dx\)

Selanjutnya cari \(\int\frac{272x^2+4}{x^3-4x^2}dx\)

\(\int\frac{272x^2+4}{x^3-4x^2}dx=\int\frac{272x^2+4}{x^2\left(x-4\right)}dx\)

\(=\int\frac A{x^2}+\frac Bx+\frac C{x-4}dx\)

\(=\int\frac{A\left(x-4\right)+B\left(x\right)\left(x-4\right)+C\left(x^2\right)}{x^3-4x^2}dx\)

\(=\int\frac{Ax-4A+Bx^2-4Bx+Cx^2}{x^3-4x^2}dx\)

\(=\int\frac{\left(B+C\right)x^2+\left(A-4B\right)x-4A}{x^3-4x^2}dx\)

Diperoleh \(B+C=272\),\(A-4B=0\),\(-4A=4\) atau \(A=-1\), \(B=-\frac14\), \(C=\frac{1089}4\)

Sehingga :

\(\int\frac{272x^2+4}{x^3-4x^2}dx=\int\frac{-1}{x^2}+\frac{-{\displaystyle\frac14}}x+\frac{\displaystyle\frac{1089}4}{x-4}dx\)

\(=-\int\frac{dx}{x^2}-\frac14\int\frac{dx}x+\frac{1089}4\int\frac{dx}{x-4}\)

\(=\frac1x-\frac14\ln\left|x\right|-\frac{1089}4\ln\left|x-4\right|+C\)

Jadi, \(\int\frac{x^6-4x^3+4}{x^3-4x^2}dx=\frac14x^4+\frac43x^3+8x^2+68x+\frac1x-\frac14\ln\left|x\right|-\frac{1089}4\ln\left|x-4\right|+C\)