Integral Fungsi Trigonometri

    Hai teman-teman, pada kesempatan kali ini akan dibahas mengenai teknik integral fungsi trigonometri. Namun sebelum dibahas lebih rinci, berikut akan diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

1. \(\int\sin x\;dx=-\cos\;x+C\)

2. \(\int\cos x\;dx=\sin x+C\)

3. \(\int\tan x\;dx=\ln\left|sec\;x\right|+C=-\ln\left|\cos\;x\right|+C\)

4. \(\int cotx\;dx=-\ln\left|cscx\right|+C=\ln\left|\sin x\right|+C\)

5. \(\int sec\;x\;dx=\ln\left|sec\;x+\tan\;x\right|+C\)

6. \(\int csc\;x\;dx=\ln\left|csc\;x-cot\;x\right|+C\)

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

A. \(\int\sin^mx\;dx\) dan \(\int\cos^mx\;dx\) dengan \(m\) bilangan ganjil atau genap positif

  - Jika \(m\) bulat positif dan ganjil, maka \(m\) diubah menjadi \(\left(m-1\right)+1\), atau \(m\) digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan indentitas \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Contoh:

\(\int\sin^3x\;dx\)

Jawab:

\(\int\sin^3x\;dx\)

    \(=\int\sin^{\left(3-1\right)+1}x\;dx\)

    \(=\int\sin^2x\sin x\;dx\)

    \(=\int\left(1-\cos^2x\right)d\left(-\cos x\right)\)

    \(=\int1d\left(-\cos x\right)+\int\cos^2d\left(\cos x\right)\)

    \(=-\cos x+\frac13\cos^3x+C\)

  - Jika \(m\) bilangan bulat positif genap, maka dapat diselesaikan dengan menggunakan indentitas:

\(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2\) dan \(\cos^2x=\frac{1+\cos2x}2\). Contoh:

\(\int\cos^4x\;dx\)

Jawab:

\(\int\cos^4x\;dx\)

    \(=\int\left(\cos^2x\right)^2dx\)

    \(=\int\left(\frac{1+\cos2x}2\right)^2dx\)

    \(=\int\left(\frac14+\frac{\cos2x}2+\frac14\cos^22x\right)dx\)

    \(=\int\frac14dx+\int\frac{\cos2x}2dx+\int\frac14\cos^22x\;dx\)

    \(=\frac x4+\frac{\sin2x}4+\frac x8+\frac{\sin4x}{32}+C\)

    \(=\frac{3x}8+\frac{\sin2x}4+\frac{\sin4x}{32}+C\)

B. \(\int\sin^mx\;\cos^nx\;dx\)

Jika \(m\) atau \(n\) bilangan bulat positif ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan \(\sin\;x\) atau \(\cos\;x\) dengan menggunakan kesamaan identintas \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Contoh:

\(\int\sin^2x\;\cos^3x\;dx\)

Karena \(n\) ganjil maka ubah menjadi genap

    \(\int\sin^2x\;\cos^3x\;dx\)

    \(=\int\sin^2x\;\cos^2x\;\cos x\;dx\)

    \(=\int\sin^2x\left(1-\sin^2x\right)d\left(\sin x\right)\)

    \(=\int\sin^2x\;d\left(\sin x\right)-\int\sin^4x\;d\left(\sin x\right)\)

    \(=\frac13\sin^3x-\frac15\sin^5x+C\)

C. \(\int\tan^nx\;dx\) dan \(\int\cot^nx\;dx\)

    - Untuk kasus \(\int\tan^nx\;dx\), faktorkan \(\tan\;x\) kemudian gunakan identitas \(\tan^2x=sec^2x-1\)

    - Untuk kasus \(\int\cot^nx\;dx\), faktorkan \(\cot\;x\) kemudian gunakan identitas \(\cot^2x=csc^2x-1\)

Perhatikan contoh berikut:

1. \(\int\tan^3x\;dx\)

Karena pangkat \(n\) ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas \(1+\tan^2x=sec^2x\)

Sehingga diperoleh

    \(\int\tan^3x\;dx\)

    \(=\int\tan^2x\;\tan x\;dx\)

    \(=\int\left(sec^2x-1\right)\tan x\;dx\)

    \(=\int sec^2x\tan x\;dx-\int\tan x\;dx\)

    \(=\int\tan xsec^2x\;dx-              \ln\left|secx\right|+C\)

    \(=\int\tan x\;d\left(\tan x\right)-      \ln\left|secx\right|+C\)

    \(=\frac12\tan^2x-\ln\left|secx\right|+C\)

2. \(\int\cot^4x\;dx\)

Karena pangkat \(n\), langsung gunakan kesaman identintas \(1+cot^2x=csc^2x\), sehingga diperoleh

    \(\int\cot^4x\;dx\)

    \(=\int\left(cot^2x\right)^2dx\)

    \(=\int\left(csc^2x-1\right)^2dx\)

    \(=\int\left(csc^4x-2csc^2x+1\right)dx\)

    \(=\int\left(csc^2x\right)\left(csc^2x\right)-2csc^2x+1dx\)

    \(=\int\left(1+cot^2x\right)csc^2x-2csc^2x+1dx\)

    \(=\int\left(1+cot^2x\right)d\left(-cotx\right)-2\int d\left(-cotx\right)+\int dx\)

    \(=\left(-cotx\right)-\frac13cot^3x+2cotx+x+C\)

    \(=-\frac13cot^3x+cotx+x+C\)

D. \(\int\tan^mx\;sec^nx\;dx\) dan \(\int\cot^mx\;csc^nx\;dx\)

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu \(n\) genap \(m\) sebarang dan \(m\) ganjil \(n\) sebarang. Jika \(n\) genap dan \(m\) sebarang gunakan kesamaan \(1+\tan^2x=sec^2x\) atau \(1+\cot^2x=csc^2x\). Begitu juga dengan ganjil.

Contoh:

1. \(\int\tan^5x\;sec^4x\;dx\)

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas \(1+\tan^2x=sec^2x\), sehingga diperoleh

    \(\int\tan^5x\;sec^4x\;dx\)

    \(=\int\tan^5x\left(sec^2x\right)^2dx\)

    \(=\int\tan^5x\left(1+\tan^2x\right)sec^2x\;dx\)

    \(=\int\left(\tan^5x+\tan^7x\right)d\left(\tan x\right)\)

    \(=\frac16\tan^6x+\frac18\tan^8x+C\)

2. \(\int\tan^3x\;sec^{-\frac12}x\;dx\)

    \(=\int\tan^2x\;\tan x\;sec^{-\frac32}x\;sec\;x\;dx\)

    \(=\int\left(\tan^2x\right)\left(sec^{-\frac32}x\right)\left(sec\;x\;\tan\;x\right)dx\)

    \(=\int\left(sec^2x-1\right)sec^{-\frac32}x\;d\left(sec\;x\right)\)

    \(=\int sec^\frac12x\;d\left(sec\;x\right)-\int sec^{-\frac32}x\;d\left(sec\;x\right)\)

    \(=\frac23sec^\frac32x+2sec^{-\frac12}x+C\)

E. \(\int\sin\;mx\;\cos\;nx\;dx\), \(\int\sin\;mx\;\sin\;nx\;dx\), \(\int\cos\;mx\;\cos\;nx\;dx\)

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

    - \(\int\sin\;mx\;\cos\;nx\;dx\;=\frac12\left[\sin\left(m+n\right)x+\sin\left(m-n\right)x\right]\)

    - \(\int\sin\;mx\;\sin\;nx\;dx\;=-\frac12\left[\cos\left(m+n\right)x-\cos\left(m-n\right)x\right]\)

    - \(\int\cos\;mx\;\cos\;nx\;dx\;=\frac12\left[\cos\left(m+n\right)x+\cos\left(m-n\right)x\right]\)

Contoh:

1. \(\int\sin\;3x\;\cos\;4x\;dx\)

    \(=\int\frac12\left[\sin\left(3+4\right)x+\sin\left(3-4\right)x\right]dx\)

    \(=\frac12\int\sin\;7x+\sin\left(-x\right)\;dx\)

    \(=-\frac1{14}\cos\;7x-\frac12\cos\;x+C\)

2. \(\int\sin\;3x\;\sin\;2x\;dx\)

    \(=\int-\frac12\left[\cos\left(3+2\right)x-\cos\left(3-2\right)x\right]dx\)

    \(=-\frac12\int\left(\cos\;5x-\cos\;x\right)dx\)

    \(=-\frac1{10}\sin\;5x+\frac12\sin\;x+C\)