Integral Substitusi Fungsi Trigonometri

Halo teman-teman! Kali ini kita akan membahas tentang integral substitusi fungsi trigonometri. Teknik ini digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk berikut:

   a. \(\sqrt{a^2-x^2},\;a>0,\;a\in Real\)

   b. \(\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2+x^2},\;a>0,\;a\in Real\)

   c. \(\sqrt{x^2-a^2},\;a>0,\;a\in Real\)

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

   \(\sqrt{a^2-b^2x^2}=\sqrt{\left(\frac ab\right)^2-x^2}\)

   \(\sqrt{a^2+b^2x^2}=\sqrt{\left(\frac ab\right)^2+x^2}\)

   \(\sqrt{a^2x^2-b^2}=\sqrt{x^2-\left(\frac ba\right)^2}\)

   atau \(\sqrt{ax^2+bx+c}\\\)  yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Substitusi yang paling umum adalah \(x=a\;\sin\;t\\\), \(x=a\;\tan\;t\\\), \(x=a\;sec\;t\\\). Bentuk integrannya diantaranya,

1.  \(\sqrt{a^2-x^2}\) gunakan substitusi \(x=a\;\sin\;t\) atau \(\sin\;t=\frac xa\)

     \(x=a\;\sin\;t\Leftrightarrow dx=a\;\cos\;t\;dt\)

     Dengan \(-\frac{\mathrm\pi}2\leq t\leq\frac{\mathrm\pi}2\) sehingga,

     \(\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-\left(a\;\sin\;t\right)^2}\)

                             \(=\sqrt{a^2\left(1-\sin^2\;t\right)}\)

                             \(=a\;\cos\;t\)

2. \(\sqrt{a^2+x^2}\) gunakan substitusi \(x=a\;\tan\;t\) atau \(\tan\;t=\frac xa\)

     \(x=a\;\tan\;t\Leftrightarrow dx=a\;sec^2t\;dt\)

     Dengan \(-\frac{\mathrm\pi}2\leq t\leq\frac{\mathrm\pi}2\) sehingga,

     \(\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+\left(a\;\tan\;t\right)^2}\)

                             \(=\sqrt{a^2\left(1+\tan^2\;t\right)}\)

                             \(=a\;\sec\;t\)

3. \(\sqrt{x^2-a^2}\) gunakan substitusi \(x=a\;\sec\;t\) atau \(\sec\;t=\frac xa\)

     \(x=a\;\sec\;t\Leftrightarrow dx=a\;sec\;t\;\tan\;t\;dt\)

     Dengan \(0\leq t<\frac{\mathrm\pi}2;\left(x\geq a\geq\right)\) dan \(\frac{\mathrm\pi}2\leq t\leq\mathrm\pi;\left(x\leq-a\right)\) sehingga,

     \(\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{\left(a\;sec\;t\right)^2-a^2}\)

                             \(=\sqrt{a^2sec^2t-a^2}\)

                             \(=a\;\tan\;t\)

Catatan

Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu \(\cos\;t,\;\tan\;t,\;cot\;t,\;sec\;t,\) dan \(\csc\;t\). Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.

Contoh

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. \(\int\sqrt{4-x^2}dx\)

Substitusi \(x=2\sin\;t\Leftrightarrow\sin\;t=\frac x2\Leftrightarrow dx=2\cos\;t\;dt\)

\(\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-4\sin^2t}=2\cos\;t\)

Sehingga \(\int\sqrt{4-x^2}dx=\int2\cos\;t\left(2\cos\;t\;dt\right)\)

\(=4\int\cos\;t\;\cos\;t\;dt\)

\(=4\int\cos^2t\;dt\)

\(=4\int\frac{\left(1+\cos\;2t\right)}2dt\)

\(=2\int dt+2\int\cos\;2t\;dt\)

\(=2t+\sin\;2t+C\\=2t+2\sin\;t\;\cos\;t\)

\(=2\;arc\;\sin\;\left(\frac x2\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}2+C\)

atau

\(4\int\cos^2t\;dt=4\left(\frac{\sin\;t\;\cos\;t}2+\frac12t+C\right)\)

\(=2\sin\;t\;\cos\;t\;+2t+C\)

\(=2\left(\frac x2\right)+\frac{\sqrt{4-x^2}}2+2arc\;\sin\left(\frac x2\right)+C\)

\(=\frac{x\sqrt{4-x^2}}2+2arc\;\sin\left(\frac x2\right)+C\)

2. \(\int\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}\)

Dapat mengubah \(\int\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}\) menjadi \(\int\frac{dx}{\sqrt{4-\left(x-2\right)^2}}\)

Substitusi \(\left(x-2\right)=2\;\sin\;t,\)

\(\Leftrightarrow dx=2\;\cos\;t\;dt\)

\(\sqrt{4-\left(x-2\right)^2}=2\;\cos\;t\)

Sehingga \(\int\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}=\int\frac{2\;\cos\;t\;dt}{2\;\cos\;t}\)

\(=\int dt\)

\(=t+C\)

\(=arc\;\sin\left(\frac{x-2}2\right)+C\)

3. \(\int\frac{dx}{\sqrt{9+x^2}}\)

Substitusikan \(x=3\;\tan\;t\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{9+x^2}=\sqrt{9+9\;\tan^2t}=3\;sec\;t\)

Sehingga \(\int\frac{dx}{\sqrt{9+x^2}}=\int\frac{3\;sec^2t\;dt}{3\;sec\;t}\)

\(=\int sec\;t\;dt\)

\(=\ln\left|sec\;t+\tan\;t\right|+C\)

\(=\ln\left|\frac{\sqrt{9+x^2}}3+\frac x3\right|+C\)

\(=\ln\left|\sqrt{9+x^2}+x\right|+C\)

4. \(\int\frac{\left(2x-1\right)}{\sqrt{x^2+4x+5}}dx\)

Dapat mengubah \(\int\frac{\left(2x-1\right)}{\sqrt{x^2+4x+5}}dx=\int\left(\frac{2x}{\sqrt{x^2+4x+5}}-\frac1{\sqrt{x^2+4x+5}}\right)dx\)

\(=\int\frac{2x}{\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}}dx-\int\frac1{\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}}dx\)

Substitusikan \(x+2=\tan\;t\Leftrightarrow x=\tan\;t-2\Leftrightarrow dx=sec^2t\;dt\)

\(\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}=sec\;t\)

Sehingga

\(\int\frac{\left(2x-1\right)}{\sqrt{x^2+4x+5}}dx=\int\frac{2x}{\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}}dx-\int\frac1{\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}}dx\)

\(=\int\frac{2\left(\tan\;t-2\right)\left(sec^2t\;dt\right)}{sec\;t}-\int\frac1{sec\;t}\left(sec^2t\;dt\right)\)

\(=2\int\tan\;t\;sec\;t\;dt-4\int sec\;t\;dt-\int sec\;t\;dt\)

\(=2\;sec\;t-5\ln\left|sec\;t+\tan\;t\right|+C\)

\(=2\sqrt{x^2+4x+5}-5\ln\left|\sqrt{x^2+4x+5}+\left(x+2\right)\right|+C\)

5. \(\int\frac{\sqrt{x^2-9}}xdx\)

Substitusikan \(x=3\;sec\;t\)

\(\Leftrightarrow dx=3\;sec\;t\;\tan\;t\;dt\)

\(\sqrt{x^2-9}=3\;\tan\;t\)

Sehingga \(\int\frac{\sqrt{x^2-9}}xdx=\int\frac{3\;\tan\;t}{3\;sec\;t}\left(3\;sec\;t\;\tan\;t\;dt\right)\)

\(=3\int\tan^2t\;dt\)

\(=3\int\left(sec^2t-1\right)dt\)

\(=3\;\tan\;t-3t+C\)

\(=3\frac{\sqrt{x^2-9}}3-3arc\;sec\frac x3+C\)

6. \(\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-2x-8}}\)

Dapat mengubah \(\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-2x-8}}\) menjadi \(\int\frac{dx}{\sqrt{\left(x-1\right)^2-9}}\)

Substitusikan \(\left(x-1\right)=3\;sec\;t\Leftrightarrow sec\;t=\frac{x-1}3\)

\(\Leftrightarrow dx=3\;sec\;t\;\tan\;t\;dt\)

\(\sqrt{\left(x-1\right)^2-9}=3\;\tan\;t\)

Sehingga \(\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-2x-8}}=\int\frac{3\;sec\;t\;\tan\;t\;dt}{3\;\tan\;t}\)

\(=\int sec\;t\;dt\)

\(=\int\ln\left|sec\;t+\tan\;t\right|+C\)

\(=\ln\left|\frac{x-1}3+\frac{\sqrt{x^2-2x-8}}3\right|+C\)