Integral Tak Tentu - Metode Substitusi

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah membahas mengenai integral tak tentu yang mencakup rumus dan aturan-aturan serta contoh soal mencari antiturunan dari fungsi \(f(x)\). Ada beberapa teknik penyelesaian integral tak tentu, yaitu teknik substitusi (pemisalan), integral fungsi trigonometri, teknik substitusi fungsi trigonometri, integral fungsi rasional, dan integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri. Pada pembahasan kali ini akan dijelaskan mengenai teknik substitusi integral, yuk simak penjelasan berikut!Teknik substitusi adalah salah satu cara dalam menyelesaikan soal integral tak tentu. Dengan menerapkan teknik (metode) ini, kita menggunakan variabel \(u\) untuk memisalkan suatu fungsi. Namun, sembarang huruf seperti \(v\), \(t\), \(θ\) dan seterusnya juga dapat digunakan. Untuk mencari \(\int f(g(x))g′(x)dx\) dengan teknik substitusi kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut.1. Substitusi kan \(u=g(x)\) dan \(du=g′(x)dx\) untuk memperoleh \(\int f(u)du\). 2. Integrasikan terhadap \(u\).3. Gantikan \(u\) dengan \(g(x)\).
Contoh:1. Hitunglah \(\int\left(4x-2\right)^{10}dx\)Penyelesaian:Misalkan \(u=4x-2\) maka \(du=4dx\rightarrow dx=\frac{du}4\)Sehingga, dengan mensubstitusikan kita memiliki\(\int\left(4x-2\right)^{10}dx\)\(=\int u^{10}\frac{du}4\)\(=\frac14\int u^{10}du\)\(=\frac14\left(\frac{u^{11}}{11}\right)+C\)\(=\frac{u^{11}}{44}+C\)\(=\frac{\left(4x-2\right)^{11}}{44}+C\)
2. Tentukan \(\int\frac s{\sqrt{5s+4}}ds\)Penyelesaian:Misalkan \(u=\sqrt{5s+4}\)\(\Leftrightarrow u^2=5s+4\)\(\Leftrightarrow d(u^2)=(5s+4)\)\(\Leftrightarrow2udu=5ds\)\(\Leftrightarrow ds=\frac{2udu}5\)Karena \(u^2=5s+4\) maka \(s=\frac{u^2-4}5\).Sehingga, dengan teknik substitusi kita memiliki \(\int\left(4x-2\right)^{10}dx\)\(=\int\frac{\displaystyle\frac{u^2-4}5}u.\frac{2udu}5\)\(=\int\frac{\left(u^2-4\right)}{5u}.\frac{2udu}5\)\(=\int\frac{2\left(u^2-4\right)}{25}du\)\(=\frac2{25}\int\left(u^2-4\right)du\)\(=\frac2{25}\left(\int u^2du-\int4du\right)\)\(=\frac2{25}\left(\frac{u^3}3-4u\right)+C\)\(=\frac2{75}u^3-\frac8{25}u+C\)\(=\frac2{75}\left(5s+4\right)\left(\sqrt{5s+4}\right)-\frac8{25}\left(\sqrt{5s+4}\right)+C\)
3. Carilah \(\int\sin x\cos xdx\)Penyelesaian:Misalkan \(u=sin x\) maka \(du=\cos x\;dx\)Sehingga dengan substitusi diperoleh\(\int\sin x\cos xdx\)\(=\int udu\)\(=\frac{u^2}2+C\)\(=\frac{\sin^2x}2+C\)atauMisalkan \(u=cos x\) maka \(du=-\sin xdx\)Sehingga dengan substitusi diperoleh\(\int\sin x\cos xdx\)\(=\int\cos x\sin xdx\)\(=\int-udu\)\(=-\frac{u^2}2+C\)\(=-\frac{\cos^2x}2+C\)