Kalkulus Integral - Teknik Parsial

    Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi \(uv\), dimana \(u=f\left(x\right)\) dan \(v=g\left(x\right)\).

Karena \(y=uv\), maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi

\(y=uv\) diperoleh

\(dy=d(uv)\)

\(d(uv)=u\;dv+v\;du\)

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

\(\int d(uv)=\int udv+\int vdu\)

\(\leftrightarrow\int udv=\int d(uv)-\int vdu\)

\(\leftrightarrow\int udv=uv-\int vdu\)

    Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integral yang berbentu \(uv\) di manipulasi menjadi \(u\;dv\) dan dalam menentukan \(u\;dv\) tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan \(\int udv\) tersebut. Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Tentukan integral persial berikut ini 

1. \(\int x\;\cos\;x\;dx\)

Jawab :

Bentuk \(\int x\;\cos\;x\;dx\) diubah menjadi \(\int udv\),

Misal

\(u=x\), \(du=1dx\)

\(dv=\cos\;x\;dx\), \(v=\int\cos\;x\;dx=\sin\;x\)

Akibatnya \(\int x\;\cos\;x\;dx=\int x\;d\left(\sin\;x\right)\).

Dengan rumus integral parsial

\(\int udv=uv-\int vdu\), diperoleh

\(\int x\;d\left(\sin\;x\right)=x\;\sin\;x-\int\sin\;x\;d\left(x\right)\)

\(=x\;\sin\;x-\int\sin\;x\;dx\)

\(=x\;\sin\;x+\cos\;x+C\)

Akhirnya diperoleh \(\int x\;\cos\;x\;dx=x\;\sin\;x+\cos\;x+C\)

2. \(\int x\sqrt{1+x}dx\)

Misal

\(u=x\), \(du=dx\)

\(dv=\sqrt{1+x}, v=\int\sqrt{1+x}dx=\frac23\sqrt[3]{1+x}\)

Sehingga

\(\int x\sqrt{1+x}dx=\int x\;d\left(\frac23\sqrt[3]{1+x}\right)\)

Berdasarkan rumus integral parsial \(\int udv=uv-\int vdu\), diperoleh

\(\int x\sqrt{1+x}dx=\int x\;d\left(\frac23\sqrt[3]{1+x}\right)\)

\(=\frac{2x}3\sqrt[3]{1+x}-\int\frac23\sqrt[3]{1+x}d\left(x\right)\)

\(=\frac{2x}3\sqrt[3]{1+x}-\int\frac23\sqrt[3]{1+x}dx\)

\(=\frac{2x}3\sqrt[3]{1+x}-\frac24\sqrt[3]{\left(1+4\right)^4}\)

3. \(\int\sin\;x\;e^x\;dx\)

Misal

\(u=\sin\;x\) maka \(du=d\left(\sin\;x\right)=\cos\;x\;dx\)

\(dv=\int e^xdx, v=e^x\), sehingga \(\int\sin\;e^xdx=\int\sin\;x\;d\left(e^x\right)\)

\(=e^x\sin\;x-\int e^xd\left(\sin\;x\right)\)

\(=e^x\sin\;x-\int e^x\cos\;x\;dx\)

Diperoleh bentuk \(e^x\cos\;x\;dx\) yang juga diselesaikan dengan metode parsial

Misal

\(u=\cos\;x\), \(du=d\left(\cos\;x\right)=-\sin\;x\;dx\)

\(dv=e^xdx\), \(v=\int e^xdx=e^x\),

sehingga

\(\int e^x\cos\;x\;dx=\int\cos\;x\;d\left(e^x\right)\)

\(=e^x\cos\;x-\int e^xd\left(\cos\;x\right)\)

\(=e^x\cos\;x-\int e^x\left(-\sin\;x\right)dx\)

\(=e^x\cos\;x+\int e^x\sin\;x\;dx\)

Akhirnya diperoleh

\(\int\sin\;x\;e^x\;dx=e^x\sin\;x+\int e^x\cos\;x\;dx\)

\(=e^x\sin\;x-e^x\cos\;x-\int e^x\sin\;x\;dx\)

\(=\frac12e^x\sin\;x-\frac12e^x\cos\;x+C\)

4. \(\int\sin^3x\;dx\)

Jawab:

\(\int\sin^3x\;dx=\int\sin^2x\;\sin\;x\;dx\)

Misal

\(u=\sin^2x\), \(du=d\left(\sin^2x\right)=2\sin\;x\;\cos\;x\)

\(dv=\sin\;x\;dx\) maka \(v=\int\sin\;x\;dx=-\cos\;x\)

Sehingga

\(\int\sin^3x\;dx=\int\sin^2x\;d\left(-\cos\;x\right)\)

\(=-\cos\;x\;\sin^2x-\int-\cos\;x\;d\left(\sin^2x\right)\)

\(=-\cos\;x\;\sin^2x+\int\cos\;x\;2\sin\;x\;\cos\;x\;dx\)

\(=-\cos\;x\;\sin^2x+2\int\sin\;x\left(1-\sin^2x\right)dx\)

\(=-\cos\;x\;\sin^2x+2\sin\;x\;dx-2\int\sin^3x\;dx\)

Diperoleh,

\(\Leftrightarrow3\int\sin^3x\;dx=-\cos\;x\;\sin^2x+2\int\sin\;x\;dx\)

\(\Leftrightarrow\int\sin^3x\;dx=\frac{-\cos\;x\;\sin^2x}3+\frac23\int\sin\;x\;dx\)

\(=\frac{-\cos\;x\;\sin^2x}3+\frac23\left(\cos\;x\right)+C\)