Notasi Sigma

Penulisan Jumlah dan Sigma

Notasi sigma atau notasi penjumlahan merupakan salah satu materi matematika dasar yang sangat penting untuk dipelajari sebagai dasar untuk mempelajari matematika tingkat lanjut seperti kalkulus dan statistika. bentuk lain yang juga mirip dengan notasi sigma atau notasi penjumlahan adalah notasi perkalian atau biasa disebut notasi product.

\(\sum_{i=1}^5\) artinya i yang merupakan indeks bergerak dari 1 sampai 5. Ganti i dengan angka 1-5 secara berurutan dengan cara menjumlahkannya. Karena lambang \(\sum\) menunjukkan perintah untuk menjumlahkan.

Pengertian Notasi Sigma (Notasi Penjumlahan)

Notasi sigma yang ditulis \(\sum\) adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Lambang notasi sigma merupakan hurup kapital Yunani yang berasal dari kata asing "sum" yang artinya jumlah.

Tujun dari penggunaan notasi ini adalah untuk meringkas penjumlahan yang panjang dan rumit yang terdiri dari suku-suku atau deret tertentu. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam menulis penghitungan suatu penjumlahan yang panjang.

    Perhatikan jumlah :

\(1^2+2^2+3^2+...+100^2\)

    dan

\(a_1+a_2+a_3+...+a_n\)

    untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan yang pertama sebagai

\(\sum_{i=1}^{100}i^2\)

yang kedua sebagai

\(\sum_{i=1}^{n}a_i\) 

 disini \(\sum\) (huruf kapital sigma Yunani) yang berpadanan dengan hurup kapital S, menyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga,

\(\sum_{i=2}^5b_i=b_2+b_3+b_4+b_5\)

\(\sum_{j=1}^n\frac1j=\frac11+\frac12+\frac13+...+\frac1n\)

\(\sum_{k=1}^4\frac k{k^2+1}=\frac1{1^2+1}+\frac2{2^2+1}+\frac3{3^2+1}+\frac4{4^2+1}\)

dan, untuk \(n\geq m\),

\(\sum_{i=m}^nF\left(i\right)=F\left(m\right)+F\left(m+1\right)+F\left(m+2\right)+...+F\left(n\right)\)

Jika semua \(c\) dalam \(\sum_{i=1}^{n}c_{i}\) mempunyai nilai sama, katakan \(c\), maka

\(\sum_{i=1}^{n}c_{i}=\underbrace{c+c+c+\cdots+c}_{n \text { suku }}=n c\)

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

\(\sum_{i=1}^nc_i=nc\)

Khususnya,

\(\sum_{i=1}^52=5\left(2\right)=10\)

\(\sum_{j=10}^{100}\left(-4\right)=100\left(-4\right)=-400\)

\(\sum_{j=0}^2x^3=x^3+x^3+x^3\)

Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubah batas-batas jumlah.

Contoh 1

\(\sum_{k=1}^52k=2+4+6+8+10\)

\(\sum_{k=0}^4\left(2k+1\right)=2+4+6+8+10\)

\(\sum_{k=2}^6\left(2k-2\right)=2+4+6+8+10\)

PERUBAHAN INDEKS JUMLAH

Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin mengganti indeks jumlah dengan indesks jumlah yang lainnya. Berikut ini diberikan satu contoh ilustrasi bahwa hal ini mungkin dilakukan.

Contoh 2 nyatakan \(\sum_{k=3}^75^{k-2}\) dalam notasi sigma batas bawah dari sigma adalah nol.

Penyelesaian misalkan indeks baru adalah \(j\), maka \(j=k-3\)

sehingga jika \(k=3\), maka\(j=0\), dan jika \(k=7\), maka \(j=4\). Jadi \(j\) bergerak dari \(j=0\) sampai \(j=4\). Sehingga,

\(\sum_{k=3}^75^{k-2}=\sum_{j=0}^45^{\left(j+3\right)-2}=\sum_{j=0}^45^{j+1}\)

Pembaca dapat mengecek bahwa \(\sum_{k=3}^75^{k-2}\) dan \(\sum_{j=0}^45^{j+1}\) adalah \(5+5^2+5^3+5^4+5^5\)

SIFAT-SIFAT \(\sum\) Dianggap sebagai operator, \(\sum\) beroperasi pada barisan dan operator itu melakukannya secara linear

Kelinearan \(\sum\) Misalkan \(\left(a_i\right)\) dan \(\left(b_i\right)\) menyatakan dua barisan dan \(c\) suatu konstanta. Maka:

(i) \(\sum_{i=1}^nca_i=c\sum_{i=1}^na_i\)

(ii) \(\sum_{i=1}^n\left(a_i+b_i\right)=\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^nb_i\)

(iii) \(\sum_{i=1}^n\left(a_i-b_i\right)=\sum_{i=1}^na_i-\sum_{i=1}^nb_i\)

Kita akan membuktikan sifat (i) dan (iii), sedangkan (ii) ditingga untuk pembaca

Bukti (i)

\(\sum_{i=1}^nca_i=ca_1+ca_2+...+ca_n\)

\(=c\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\)

\(=c\sum_{i=1}^na_i\)

Bukti (iii)

\(\sum_{k=1}^n\left(a_k+b_k\right)=\left(a_1+b_1\right)+\left(a_2+b_2\right)+...+\left(a_n+b_n\right)\)

\(=a_1+a_2+...+a_n+b_1+b_2+...+b_n\)

\(=a_i+b_i\)

Contoh 3 Misalkan \(\sum_{i=1}^{100}a_i=60\) dan \(\sum_{i=1}^{100}11\). Hitung \(\sum_{i=1}^{100}\left(2a_i-3b_i+4\right)\)

Penyelesaian

\(\sum_{i=1}^{100}\left(2a_i-3b_i+4\right)=\sum_{i=1}^{100}2a_i-\sum_{i=1}^{100}3b_i+\sum_{i=1}^{100}4\)

\(=2\sum_{i=1}^{100}a_i-3\sum_{i=1}^{100}b_i+\sum_{i=1}^{100}4\)

\(=2\left(60\right)-3\left(11\right)+100\left(4\right)=487\)

Contoh 4 Sederhanakan \(\sum_{i=1}^n\left(a_i-a_{i-1}\right)\)

Penyelesaian

\(\sum_{i=1}^n\left(a_i-a_{i-1}\right)=\left(a_1-a_0\right)+\left(a_2-a_1\right)+...+\left(a_n-a_{n-1}\right)\)

\(=-a_0+a_1-a_1+a_2+...+a_{n-1}-a_{n-1}+a_n\)

\(=-a_b+a_n+a_n-a_0\)

BEBERAPA JUMLAH KHUSUS

Pada bagian ini, kita harus meninjau jumlah dari \(n\) bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke-\(n\) yang cukup manis. Deret-deret tersebut adalah:

(a) \(\sum_{k=1}^nk=1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}2\)

(b) \(\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}6\)

(c) \(\sum_{k=1}^nk^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}2\right]^2\)

(d) \(\sum_{k=1}^nk^4=1^4+2^4+3^4+...+n^4=\frac{n\left(n+1\right)\left(6n^3+9n^2+n-1\right)}{30}\)

Kita kan membuktikan sifat (a) dan (b), sedangkan (c) dan (d) ditinggal sebagai latihan bagi pembaca. Bukti (a)

\(\sum_{k=1}^nk=1+2+3+...+\left(n-2\right)+\left(n-1\right)+n\)   (1)

\(\sum_{k=1}^nk=n+\left(n-1\right)+\left(n-2\right)+...+3+2+1\)   (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), diperoleh:

\(\sum_{k=1}^{n}k=\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)}_{n \text { suku }}=n(n+1)\)

Jadi,

\(\sum_{k=1}^nk=\frac{n\left(n+1\right)}2\)

Bukti (b)

\(\left(k+1\right)^3-k^3=k^3+3k^2+3k+1-k^3=3k^2+3k+1\)

diperoleh bahwa

\(\sum_{k=1}^n\left[\left(k+1\right)^3-k^3\right]=\sum_{k=1}^n3k^2+3k+1\)   (3)

Ruas kanan dari (3) menghasilkan

\(\left[2^3-1^3\right]+\left[3^3-2^3\right]+\left[4^3-3^3\right]+...+\left[\left(n+1\right)^3-n^3\right]=-1+\left(n+1\right)^3\)

Jadi,

\(-1+\left(n+1\right)^3=\sum_{k=1}^n3k^2+3k+1\)

\(-1+\left(n+1\right)^3=3\sum_{k=1}^nk^2+3\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1\)

Karenanya

\(\sum_{k=1}^nk^2=\frac13\left[\left(n+1\right)^3+3\frac{n\left(n+1\right)}2-\left(n+1\right)\right]\)

\(=\frac{n+1}6\left[2\left(n+1\right)^2-3n-2\right]\)

Contoh 5 Hitung \(\sum_{k=1}^{30}k\left(k+1\right)\)

Penyelesaian

\(\sum_{k=1}^{30}k\left(k+1\right)=\sum_{k=1}^{30}\left(k^2+1\right)=\sum_{k=1}^{30}k^2=\sum_{k=1}^{30}k\)

\(=\frac{30\left(31\right)\left(61\right)}6+\frac{30\left(31\right)}2=9920\)

Catatan:

Dalam rumus

\(\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}6\)

atau

\(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}6\)

Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.