Integral Tak Wajar

    Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu. 

Teorema :

Misal \(f\left(x\right)\) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I\(=\left[a,b\right]\), dan \(F\left(x\right)\) sebarang antiturunan pada I, maka

\(\int_a^bf\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)\)

Contoh :

1. \(\int_2^4\left(1-x\right)dx=\left[x-\frac12x^2\right]_2^4\)

    \(=\left(4-\frac12.16\right)-\left(2-\frac12.4\right)\)

    \(=-4-0=-4\)

2. \(\int_1^2\frac{dx}{1+x}=\left[\ln\left|1+x\right|\right]_1^2\)

    \(=\ln\left(1+2\right)-\ln\left(1+1\right)\)

    \(=\ln\left(3\right)-\ln\left(2\right)\)

3. \(\int_1^2\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\), tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran \(f\left(x\right)=\frac1{\sqrt{1-x}}\) tidak terdefinisi pada \(x=1\).

4. \(\int_{-1}^1\frac{dx}x\), tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas, karena integran \(f\left(x\right)=\frac1x\) tidak terdefinisi di \(x=0\)

    Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti  pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar. 

Bentuk \(\int_a^bf\left(x\right)dx\) disebut Integral Tidak Wajar jika :

a. Integran \(f\left(x\right)\) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di \(\left[a,b\right]\), sehingga mengakibatkan \(f\left(x\right)\) tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus \(\int_a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)\) tidak berlaku lagi.

Contoh :

1) \(\int_0^4\frac{dx}{4-x}\), \(f\left(x\right)\) tidak kontinu di batas atas \(x=4\) atau \(f\left(x\right)\) kontinu di \(\lbrack0,4)\)

2) \(\int_1^2\frac{dx}{\sqrt{x-1}}\), \(f\left(x\right)\) tidak kontinu di batas bawah \(x=1\) atau \(f\left(x\right)\) kontinu di \((1,2\rbrack\)

3) \(\int_0^4\frac{dx}{\left(2-x\right)^{\displaystyle\frac23}}\), \(f\left(x\right)\) tidak kontinu di \(x=2\in\left[0,4\right]\) atau \(f\left(x\right)\) kontinu di \(\lbrack0,2)\cup(2,4\rbrack\)

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

Contoh :

1) \(\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+4}\), integran \(f\left(x\right)\) memuat batas atas di \(x=\infty\)

2) \(\int_{-\infty}^0e^{2x}dx\), integran \(f\left(x\right)\) memuat batas bawah di \(x=-\infty\)

3) \(\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+4x^2}\), integran \(f\left(x\right)\) memuat batas atas di \(x=\infty\) dan batas bawah di \(x=-\infty\)

    Pada contoh a (1, 2, 3) adalah integral tak wajar dengan integran \(f\left(x\right)\) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar dengan integran \(f\left(x\right)\) mempunyai batas di tak hingga \(\left(\infty\right)\).

    Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu dan Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

Integral Tak Wajar dengan Integran Diskontinu

a. \(f\left(x\right)\) kontinu di \(\left[a,b\right]\) dan tidak kontinu di \(x=b\)

Karena \(f\left(x\right)\) tidak kontinu di \(x=b\), maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di \(x=b-\varepsilon(\varepsilon \to 0^+)\), sehingga

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx\)

Karena batas atas \(x=b-\varepsilon (x\to b^-)\), maka

\(\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to b^-} \int_{a}^{t} f(x)dx\)

Contoh :

1. \(\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int_0^{4-\varepsilon} \frac{d x}{\sqrt{4-x}}\), \(f(x)\) tidak kontinu di batas atas \(x=4\), sehingga

    \(=\left[\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}-2\sqrt{4-x}\right]_0^{4-\varepsilon}\)

    \(=-2 \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \left[\sqrt{4-(4-\varepsilon)}- \sqrt{(4-0)}\right] \)

    \(=-2\left(\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\sqrt{\varepsilon}-\sqrt{4}\right)\)

    \(=-2(0-2)\)
    \(=4\)

Cara lain

\(\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}  =\lim _{t \rightarrow 4^{-}}\int_0^t \frac{d x}{\sqrt{4-x}}\)
    \(=\lim _{t \rightarrow 4^{-}}[-2\sqrt{4-x}]_0^t\)
    \(=\lim _{t \rightarrow 4^{-}}\lfloor-2\sqrt{4-t}+2 \sqrt{4-0}\rfloor\)
    \(=-2(0)+2(2)\)
    \(=4\)

2. \(\int_{-2}^2 \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\)

Fungsi di atas tidak kontinu di \(x=2\) dan \(x=-2\), sehingga :

\(\int_{-2}^2 \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=2\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}\)

    \(=2\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}\)

    \(=2\left[\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \arcsin\frac{x}{2}\right]_0^{2-\varepsilon}\)

    \(=2\left(\frac{\pi}{2}-0\right)\)

    \(=\pi\)

b. \(f\left(x\right)\) kontinu di \(\left[a,b\right]\) dan tidak kontinu di \(x=a\)

Karena \(f\left(x\right)\) tidak kontinu di \(x=a\), maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di \(x=a+\varepsilon(\varepsilon \to 0^+)\), sehingga

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx\)

Karena batas bawah \(x=a+\varepsilon (x\to a^-)\), maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain :

\(\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to a^+} \int_{t}^{b} f(x)dx\)

Contoh :

1. \(\int_3^4 \frac{3dx}{\sqrt{x-3}}=\lim_{t\rightarrow 3^+} \int_t^4 \frac{3dx}{\sqrt{x-3}}\)

    \(=\lim_{t\rightarrow 3^{+}}[3(2)\sqrt{x-3}]_{t}^4\)

    \(=\lim_{t\rightarrow 3^{+}}[6\sqrt{4-3}-6\sqrt{t-3}]\)

    \(=6(1)-6(0)\)

    \(=6\)

2. \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}\), \(f(x)\) tidak kontinu di batas bawah \(x=0\) sehingga diperoleh :

\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[2\sqrt{x}]_{0+\varepsilon}^1\)
    \(=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[2\sqrt{1}-2 \sqrt{0+\varepsilon}\right]\)

    \(=2-0\)

    \(=2\)

c. \(f\left(x\right)\) kontinu di \([a,b)\cup(c,b]\) dan tidak kontinu di \(x=c\)

    Karena \(f\left(x\right)\) tidak terdefinisi di \(x=c\), maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di \(x=c+\varepsilon\) dan \(x=c-\varepsilon (\varepsilon \to 0^+)\), sehingga

\(\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c} f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx\)

    \(=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{c-\varepsilon} f(x)dx+\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{c-\varepsilon}^{b} f(x)dx\)

Dapat juga dinyatakan dengan :

\(\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to b^-}\int_{a}^{t} f(x)dx+\lim_{t \to a^+} \int_{t}^{b} f(x)dx\)

Contoh :

1. \(\int_{-1}^8 x^{-\frac{1}{3}}dx\), \(f(x)\) tidak kontinu di \(x=0\), sehingga diperoleh

\(\int_{-1}^0 x^{-\frac{1}{3}}dx+\int_0^8 x^{-\frac{1}{3}}dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} x^{-\frac{1}{3}}dx+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^8 x^{-\frac{1}{3}}dx\)

    \(=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}\right]_{0+\varepsilon}^8\)

    \(=-\frac{3}{2}+6\)

    \(=\frac{9}{2}\)

2. \(\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^4}\), \(f(x)\) diskontinu di \(x=0\), sehingga diperoleh :

\(\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^4}=\int_{-1}^0 \frac{dx}{x^4}+\int_0^1 \frac{dx}{x^4}\)

    \(=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} \frac{dx}{x^4}+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}  \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{dx}{x^4}\)

    \(=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \left[\frac{-1}{3x^3}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \left[\frac{-1}{3x^3}\right]_{0+\varepsilon}^8\)

    \(=\) tidak berarti karena memuat bentuk \(\frac {1}{0}\)

Integral tak Wajar dengan Batas Tak Hingga

    Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas integrasinya.

a. Integral tak wajar dengan batas atas \(x=\infty\)

    Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

\(\int_{a}^{\infty} f(x)dx=\lim_{t \to\infty} \int_{a}^{t} f(x)dx\)

Contoh

1. \(\int_0^{\infty}\frac{dx}{x^2+1}=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_0^t \frac{dx}{x^2+4}\)

    \(=\lim_{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}\right]_0^t\)

    \(=\lim_{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} \arctan \frac{t}{2}-\frac{1}{2}\arctan0\right]\)

    \(=\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\cdot0\right)\)

    \(=\frac{\pi}{4}\)

2. \(\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2}=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_1^t \frac{dx}{x^2}\)

    \(=\lim_{t \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^t\)

    \(=\lim_{t \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{x}+1\right]_1^t\)

    \(=1\)

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di \(x=-\infty\)

    Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian :

\(\int_{-\infty}^{a} f(x)dx=\lim_{t \to-\infty} \int_{t}^{a} f(x)dx\)

Contoh :

1. \(\int_{-\infty}^{0}e^{2x}dx=\lim_{t \rightarrow -\infty}\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_t^0\)

    \(=\lim_{t \rightarrow -\infty}\left[\frac{1}{2}\cdot1-\frac{1}{2}e^{2t}\right]\)

    \(=\frac{1}{2}-0\)

    \(=\frac{1}{2}\)

2. \(\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{(4-x)^2}=\lim_{t \rightarrow -\infty} \left[\frac{1}{(4-x)}\right]_t^0\)

    \(=\lim_{t \rightarrow -\infty} \left[\frac{1}{(4-t)}+\frac{1}{(4-0)}\right]\)

    \(=0+\frac{1}{4}\)

    \(=\frac{1}{4}\)

c. Integral tak wajar batas atas \(x=\infty\) dan batas bawah di \(x=-\infty\)

    Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)x=\int_{-\infty}^{a} f(x)dx+\int_{a}^{\infty} f(x)dx\), sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk :

\(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)x=\int_{-\infty}^{a} f(x)dx+\int_{a}^{\infty} f(x)dx\)

\(=\lim_{t \rightarrow -\infty}\int_{t}^{a} f(x)dx+\lim_{t \rightarrow \infty}\int_{a}^{t} f(x)dx\)

Contoh :

1. \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+4x^2}=\int_{-\infty}^{0} \frac{dx}{1+4x^2}+\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+4x^2}\)

    \(=\lim_{t \rightarrow-\infty}[arctg4x]_t^0+\lim_{t \rightarrow \infty}[arctg4x]_0^t\)

    \(=\frac{\pi}{2}\)

2. \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^x dx}{e^{2x}+1}=\int_{-\infty}^{0} \frac{e^x dx}{e^{2x}+1}+\int_{0}^{\infty} \frac{e^x dx}{e^{2x}+1}\)

    \(=\lim_{t \rightarrow-\infty}\int_{t}^{0} \frac{e^x dx}{e^{2x}+1}+\lim_{t \rightarrow \infty}\int_{0}^{t} \frac{e^x dx}{e^{2x}+1}\)

    \(=\lim_{t \rightarrow-\infty}(arc tgn e^x)_t^0+\lim_{t \rightarrow \infty}(arc tgn e^x)_0^t\)

    \(=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-0\)

    \(=\frac{\pi}{2}\)