Volume Benda Putar (Part 2)

     Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar  terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder.

1. Metode Cakram

    Misal daerah dibatasi oleh \(y=f\left(x\right), y=0, x=1\), dan \(x=b\) diputar terhadap sumbu-x. Volume beda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda pejal tersebut merupakan jumlah tak terhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang \(\left[a,b\right]\).

    Misal pusat cakram \(\left(x_0,0\right)\) dan jari-jari \(r=f\left(x_0\right)\). Maka luas cakram dinyatakan :

\(A\left(x_0\right)=\mathrm\pi\left(\mathrm f\left({\mathrm x}_0\right)\right)^2=\mathrm{πf}^2\left({\mathrm x}_0\right)\)

Oleh karena itu, volume benda putar :

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\mathrm\pi\left(\mathrm f\left(\mathrm x\right)\right)^2\mathrm{dx}=\mathrm\pi\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\left(\mathrm f\left(\mathrm x\right)\right)^2\mathrm{dx}\)

Bagaimana bila grafik fungsi mengelilingi sumbu-y? Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan \(\mathrm x=\mathrm g\left(\mathrm y\right), \mathrm x=0, \mathrm y=\mathrm c, \mathrm y=\mathrm d\) diputar mengelilingi sumbu-y, maka volume benda putar :

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\mathrm\pi\left(\mathrm g\left(\mathrm y\right)\right)^2\mathrm{dx}=\mathrm\pi\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\left(\mathrm g\left(\mathrm y\right)\right)^2\mathrm{dx}\)

Bagaimana bila pada dua kurva? Bila daerah yang dibatasi oleh \(\mathrm y=\mathrm f\left(\mathrm x\right)\geq0, \mathrm y=\mathrm g\left(\mathrm x\right)\geq0, \mathrm f\left(\mathrm x\right)\geq\mathrm g\left(\mathrm x\right)\) untuk setiap \(\mathrm x\in\left[\mathrm a,\mathrm b\right], \mathrm x=\mathrm a\) dan \(x=\mathrm b\) diputar terhadap sumbu-x, maka volume :

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\mathrm\pi\left(\mathrm f\left(\mathrm x\right)\right)^2-\left(\mathrm g\left(\mathrm x\right)\right)^2\mathrm{dx}\)

Bila daerah dibatasi oleh \(\mathrm x=\mathrm f\left(\mathrm y\right)\geq0,\mathrm x=\mathrm g\left(\mathrm y\right)\geq0,\mathrm f\left(\mathrm y\right)\geq\mathrm g\left(\mathrm y\right)\) untuk setiap \(\mathrm y\in\left[\mathrm c,\mathrm d\right], \mathrm x=\mathrm c\) dan \(x=\mathrm d\), maka volume :

\(\mathrm V=\int_{\mathrm c}^{\mathrm d}\mathrm\pi\left(\mathrm f\left(\mathrm y\right)\right)^2-\left(\mathrm g\left(\mathrm y\right)\right)^2\mathrm{dy}\)

Contoh

Hitunglah volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva : \(y=2-x^2, y=-x\) dan sumbu-y bila diputar mengelilingi garis \(y=-2\)

Jawab  

Kedua kurva berpotongan di \(\left(-1,1\right)\) dan \(\left(-2,2\right)\). Pada selang \(\left[-1,2\right]\) berlaku \(2-x^2\geq-x\).

Jarak kurva \(y=2-x^2, y=-x\) terhadap sumbu putar (garis \(y=-2\)) dapat dipandang sebagai jari-jari dari cakram, sehingga diperoleh \(\left(2-x^2\right)-\left(-2\right)=4-x^2\) dan \(-x-\left(-2\right)=2-x\). Maka berturut-turut adalah \(\left(4-x^2\right)\) dan \(\left(2-x\right)\).

\(\Delta V\approx\mathrm\pi\left[\left(4-\mathrm x^2\right)^2-\left(2-\mathrm x\right)^2\right]\mathrm{Δx}=\mathrm\pi\left(\mathrm x^4-9\mathrm x^2+4\mathrm x+12\right)\mathrm{Δx}\)

\(-1\leq\mathrm x\leq2\)

Sehingga diperoleh,

\(\mathrm V=\int_{-1}^2\mathrm\pi\left(\mathrm x^4-9\mathrm x^2+4\mathrm x+12\right)\mathrm{dx}\)

\(=\mathrm\pi\int_{-1}^2\left(\mathrm x^4-9\mathrm x^2+4\mathrm x+12\right)\mathrm{dx}\)

\(=\mathrm\pi\left[\frac{\mathrm x^5}5-3\mathrm x^3+2\mathrm x^2+12\mathrm x\right]_{-1}^2=\frac{108}5\mathrm\pi\)

\(\mathrm V=\frac{108}5\mathrm\pi\approx67,86\) satuan volume

2. Metode Cincin

    Metode cincin merupakan metode yang dibentuk  oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti gambar berikut 

Gambar 10

Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan tmerupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.

\(V=\mathrm\pi\left(\mathrm R^2-\mathrm r^2\right)\mathrm t\)

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar \(R\left(x\right)\) dan jari-jari dalam \(r\left(x\right)\) seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini. 

Gambar 11

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah

\(V=\mathrm\pi\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\left[\left(\mathrm R\left(\mathrm x\right)\right)^2-\left(\mathrm r\left(\mathrm x\right)\right)^2\right]\mathrm{dx}\)

Contoh

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh grafik dari \(y=x^2\), sumbu-x dan garis \(x=2\) diputar terhadap garis \(y=-1\).

Jawab

Jika irisan diputar terhadap garis \(y=-1\) akan diperoleh suatu cincin dengan jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar \(1+x^2\).

\(\Delta V\approx\mathrm\pi\left[\left(1+\mathrm x^2\right)^2-1^2\right]\mathrm{Δx}=\mathrm\pi\left(\mathrm x^4+2\mathrm x^2\right)\mathrm{Δx}\)

\(0\leq x\leq2\)

Sehingga diperoleh,

\(V=\int_0^2\mathrm\pi\left(\mathrm x^4+2\mathrm x^2\right)\mathrm{dx}\)

\(=\mathrm\pi\int_0^2\left(\mathrm x^4+2\mathrm x^2\right)\mathrm{dx}\)

\(=\mathrm\pi\left[\frac{\mathrm x^5}5+\frac23\mathrm x^3\right]_0^2=\frac{176}{15}\mathrm\pi\)

\(\mathrm V=\frac{176}{15}\mathrm\pi\approx36,86\) satuan volume

3. Metode Kulit Silinder

    Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai  tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.  

    Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut \(r_1\) dan \(r_2\), tinggi tabung \(h\). Maka volume kulit tabung adalah :

\(\Delta V=\left({\mathrm{πr}}_2+{\mathrm{πr}}_1\right)h=2\mathrm{πr}\Delta r\)

dengan : \(\frac{{\mathrm r}_2+{\mathrm r}_1}2=r\) (rata-rata, jari-jari); \({\mathrm r}_2+{\mathrm r}_1=\mathrm{Δr}\).

Bila daerah yang dibatasi oleh \(\mathrm y=\mathrm f\left(\mathrm x\right), \mathrm y=0, \mathrm x=\mathrm a, \mathrm x=\mathrm b\) diputar mengelilingi sumbu-y, maka kita dapat memandang bahwa jari-jari \(\mathrm r=\mathrm x\) dan \(\mathrm{Δr}=\mathrm{Δx}\) dan tinggi tabung \(\mathrm h=\mathrm f\left(\mathrm x\right)\). Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}2\mathrm{πxf}\left(\mathrm x\right)\mathrm{dx}\)

Misal daerah dibatasi oleh kurva \(\mathrm y=\mathrm f\left(\mathrm x\right)\), \(\mathrm y=\mathrm g\left(\mathrm x\right)\), \(\mathrm f\left(\mathrm x\right)\geq\mathrm g\left(\mathrm x\right)\), \(\mathrm x\in\left[\mathrm a,\mathrm b\right]\), \(\mathrm x=\mathrm a\) dan \(\mathrm x=\mathrm b\) diputar mengelilingi sumbu-y. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}2\mathrm{πx}\left(\mathrm f\left(\mathrm x\right)-\mathrm g\left(\mathrm x\right)\right)\mathrm{dx}\)

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan \(\mathrm x=\mathrm f\left(\mathrm y\right)\), \(\mathrm x=0\), \(\mathrm y=\mathrm c\), \(\mathrm y=\mathrm d\) diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

\(\mathrm V=\int_{\mathrm c}^{\mathrm d}2\mathrm{πyf}\left(\mathrm y\right)\mathrm{dy}\)

Sedangkan untuk daerah yang dibatasi oleh \(\mathrm x=\mathrm f\left(\mathrm y\right)\), \(\mathrm x=\mathrm g\left(\mathrm y\right)\), \(\mathrm f\left(\mathrm y\right)\geq\mathrm g\left(\mathrm y\right)\), \(\mathrm y\in\left[\mathrm c,\mathrm d\right]\), \(\mathrm y=\mathrm c\) dan \(\mathrm y=\mathrm d\) diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

\(\mathrm V=\int_{\mathrm c}^{\mathrm d}2\mathrm{πy}\left(\mathrm f\left(\mathrm y\right)-\mathrm g\left(\mathrm y\right)\right)\mathrm{dy}\)

Contoh

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh \(y=\sqrt x\), \(x=4\), \(y=0\); mengelilingi sumbu \(x=4\)

Jawab

Jika irisan diputar terhadap garis \(x=4\) akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari \(4-x\) dan tinggi tabung \(\sqrt x\)

Sehingga diperoleh,

\(\Delta V\approx2\mathrm\pi\left(4-\mathrm x\right)\sqrt{\mathrm x}\Delta x\)

\(0\leq x\leq4\)

Sehingga diperoleh,

\(\mathrm V=\int_0^42\mathrm\pi\left(\left(4-\mathrm x\right)\sqrt{\mathrm x}\right)\mathrm{dx}\)

\(=2\mathrm\pi\int_0^4\left(4\sqrt{\mathrm x}-\mathrm x^\frac32\right)\mathrm{dx}\)

\(=2\mathrm\pi\left[\frac83\mathrm x^\frac32-\frac25\mathrm x^\frac52\right]_0^4=\frac{17}{15}\mathrm\pi\)

\(\mathrm V=\frac{17}{15}\mathrm\pi\approx3,56\) satuan volume