Volume Benda Putar

    Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar 1. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh \(h\) dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas \(A\) dikalikan tinggi \(h\), yakni 

\(V=A.h\)

Gambar 1

    Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada x adalah \(A\left(x\right)\) dengan \(a\leq x\leq b\) (Gambar 2). Kita partisikan interval \(\left[a,b\right]\) dengan menyisipkan titik-titik \(a=x_0<x_1<x_2<...<x_i=b\). Kemudian kita lewatkan bidang-bidang melalui titik-titik ini tegak lurus pada sumbu-x, sehingga mengiris benda menjadi lempengan-lempengan tipis (Gambar 3). Volume \(\Delta V\) suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni

\(\Delta V_i=A\left(\overline{x_i}\right)\Delta x_i\)

Gambar 2

Gambar 3

(Ingat bahwa \(\overline{x_i}\) disebut titik sampel, adalah sebarang bilangan dalam interval \(\left[x_{i-1},x_i\right]\).) Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann 

\(V\approx\sum_{i=1}^nA\left(\overline{x_i}\right)\Delta x_i\)

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal, 

\(V=\int_a^bA\left(x\right)dx\)

a. Pemutaran mengelilingi sumbu X

    Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh \(y=f\left(x\right), x=a, x=b\). Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu-x membentuk bangun berupa benda padat (pejal), yang dapat diiris menjadi lempengan-lempengan. Volume \(\Delta V\) suatu lempengan kira-kira sama dengan colume silinder, yakni

\(\Delta V_i=A\left(\overline{x_i}\right)\Delta x_i\)

Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

\(V\approx\sum_{i=1}^nA\left(\overline{x_i}\right)\Delta x_i\)

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal, 

\(V=\int_a^bA\left(x\right)dx\)

\(V=\int_a^b\mathrm\pi\left(y^2\right)dx=\mathrm\pi\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\mathrm y^2\mathrm{dx}\)

Gambar 4

Gambar 5

    Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu \({\mathrm y}_1=\mathrm f\left(\mathrm x\right), {\mathrm y}_2=\mathrm g\left(\mathrm x\right), \mathrm x=\mathrm a, \mathrm x=\mathrm b\). Dengan \({\mathrm y}_1\geq{\mathrm y}_2\). Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-\(x\), maka terbentuk benda-pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:  

\(\mathrm V=\mathrm\pi\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\left({\mathrm y}_1^2-{\mathrm y}_1^2\right)\mathrm{dx}\)

Gambar 6

b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y

    Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh \(\mathrm x=\mathrm f\left(\mathrm y\right), \mathrm y=\mathrm c, \mathrm y=\mathrm d\). Selanjutnya   diputar mengelilingi sumbu-y. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu:

\(\mathrm V=\mathrm\pi\int_{\mathrm c}^{\mathrm d}\mathrm x^2\mathrm{dy}\)

Gambar 7

Gambar 8

    Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu \({\mathrm x}_1=\mathrm f\left(\mathrm y\right), {\mathrm x}_2=\mathrm g\left(\mathrm y\right), \mathrm y=\mathrm c, \mathrm y=\mathrm d\). Dengan \({\mathrm x}_1\geq{\mathrm x}_2\). Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu :

\(\mathrm V=\mathrm\pi\int_{\mathrm c}^{\mathrm d}\left({\mathrm x}_1^2-{\mathrm x}_1^2\right)\mathrm{dy}\)

Gambar 9

    Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Bila luas alas dinyatakan dengan \(\mathrm A\left(\mathrm x\right)\) dan tinggi benda putar adalah panjang selang \(\left[\mathrm a,\mathrm b\right]\), maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut: 

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\mathrm A\left(\mathrm x\right)\mathrm{dx}\)

    Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar  terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder.

 

1. Metode Cakram

    Misal daerah dibatasi oleh \(y=f\left(x\right), y=0, x=1\), dan \(x=b\) diputar terhadap sumbu-x. Volume beda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda pejal tersebut merupakan jumlah tak terhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang \(\left[a,b\right]\).

    Misal pusat cakram \(\left(x_0,0\right)\) dan jari-jari \(r=f\left(x_0\right)\). Maka luas cakram dinyatakan :

\(A\left(x_0\right)=\mathrm\pi\left(\mathrm f\left({\mathrm x}_0\right)\right)^2=\mathrm{πf}^2\left({\mathrm x}_0\right)\)

Oleh karena itu, volume benda putar :

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\mathrm\pi\left(\mathrm f\left(\mathrm x\right)\right)^2\mathrm{dx}=\mathrm\pi\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\left(\mathrm f\left(\mathrm x\right)\right)^2\mathrm{dx}\)

Bagaimana bila grafik fungsi mengelilingi sumbu-y? Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan \(\mathrm x=\mathrm g\left(\mathrm y\right), \mathrm x=0, \mathrm y=\mathrm c, \mathrm y=\mathrm d\) diputar mengelilingi sumbu-y, maka volume benda putar :

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\mathrm\pi\left(\mathrm g\left(\mathrm y\right)\right)^2\mathrm{dx}=\mathrm\pi\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\left(\mathrm g\left(\mathrm y\right)\right)^2\mathrm{dx}\)

Bagaimana bila pada dua kurva? Bila daerah yang dibatasi oleh \(\mathrm y=\mathrm f\left(\mathrm x\right)\geq0, \mathrm y=\mathrm g\left(\mathrm x\right)\geq0, \mathrm f\left(\mathrm x\right)\geq\mathrm g\left(\mathrm x\right)\) untuk setiap \(\mathrm x\in\left[\mathrm a,\mathrm b\right], \mathrm x=\mathrm a\) dan \(x=\mathrm b\) diputar terhadap sumbu-x, maka volume :

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\mathrm\pi\left(\mathrm f\left(\mathrm x\right)\right)^2-\left(\mathrm g\left(\mathrm x\right)\right)^2\mathrm{dx}\)

Bila daerah dibatasi oleh \(\mathrm x=\mathrm f\left(\mathrm y\right)\geq0,\mathrm x=\mathrm g\left(\mathrm y\right)\geq0,\mathrm f\left(\mathrm y\right)\geq\mathrm g\left(\mathrm y\right)\) untuk setiap \(\mathrm y\in\left[\mathrm c,\mathrm d\right], \mathrm x=\mathrm c\) dan \(x=\mathrm d\), maka volume :

\(\mathrm V=\int_{\mathrm c}^{\mathrm d}\mathrm\pi\left(\mathrm f\left(\mathrm y\right)\right)^2-\left(\mathrm g\left(\mathrm y\right)\right)^2\mathrm{dy}\)

Contoh

Hitunglah volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva : \(y=2-x^2, y=-x\) dan sumbu-y bila diputar mengelilingi garis \(y=-2\)

Jawab  

Kedua kurva berpotongan di \(\left(-1,1\right)\) dan \(\left(-2,2\right)\). Pada selang \(\left[-1,2\right]\) berlaku \(2-x^2\geq-x\).

Jarak kurva \(y=2-x^2, y=-x\) terhadap sumbu putar (garis \(y=-2\)) dapat dipandang sebagai jari-jari dari cakram, sehingga diperoleh \(\left(2-x^2\right)-\left(-2\right)=4-x^2\) dan \(-x-\left(-2\right)=2-x\). Maka berturut-turut adalah \(\left(4-x^2\right)\) dan \(\left(2-x\right)\).

\(\Delta V\approx\mathrm\pi\left[\left(4-\mathrm x^2\right)^2-\left(2-\mathrm x\right)^2\right]\mathrm{Δx}=\mathrm\pi\left(\mathrm x^4-9\mathrm x^2+4\mathrm x+12\right)\mathrm{Δx}\)

\(-1\leq\mathrm x\leq2\)

Sehingga diperoleh,

\(\mathrm V=\int_{-1}^2\mathrm\pi\left(\mathrm x^4-9\mathrm x^2+4\mathrm x+12\right)\mathrm{dx}\)

    \(=\mathrm\pi\int_{-1}^2\left(\mathrm x^4-9\mathrm x^2+4\mathrm x+12\right)\mathrm{dx}\)

`    \(=\mathrm\pi\left[\frac{\mathrm x^5}5-3\mathrm x^3+2\mathrm x^2+12\mathrm x\right]_{-1}^2=\frac{108}5\mathrm\pi\)

\(\mathrm V=\frac{108}5\mathrm\pi\approx67,86\) satuan volume

2. Metode Cincin

    Metode cincin merupakan metode yang dibentuk  oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti gambar berikut 

Gambar 10

Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan tmerupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.

\(V=\mathrm\pi\left(\mathrm R^2-\mathrm r^2\right)\mathrm t\)

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar \(R\left(x\right)\) dan jari-jari dalam \(r\left(x\right)\) seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini. 

Gambar 11

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah

\(V=\mathrm\pi\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\left[\left(\mathrm R\left(\mathrm x\right)\right)^2-\left(\mathrm r\left(\mathrm x\right)\right)^2\right]\mathrm{dx}\)

Contoh

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh grafik dari \(y=x^2\), sumbu-x dan garis \(x=2\) diputar terhadap garis \(y=-1\).

Jawab

Jika irisan diputar terhadap garis \(y=-1\) akan diperoleh suatu cincin dengan jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar \(1+x^2\).

\(\Delta V\approx\mathrm\pi\left[\left(1+\mathrm x^2\right)^2-1^2\right]\mathrm{Δx}=\mathrm\pi\left(\mathrm x^4+2\mathrm x^2\right)\mathrm{Δx}\)

\(0\leq x\leq2\)

Sehingga diperoleh,

\(V=\int_0^2\mathrm\pi\left(\mathrm x^4+2\mathrm x^2\right)\mathrm{dx}\)

    \(=\mathrm\pi\int_0^2\left(\mathrm x^4+2\mathrm x^2\right)\mathrm{dx}\)

    \(=\mathrm\pi\left[\frac{\mathrm x^5}5+\frac23\mathrm x^3\right]_0^2=\frac{176}{15}\mathrm\pi\)

\(\mathrm V=\frac{176}{15}\mathrm\pi\approx36,86\) satuan volume

3. Metode Kulit Silinder

    Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai  tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.  

    Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut \(r_1\) dan \(r_2\), tinggi tabung \(h\). Maka volume kulit tabung adalah :

\(\Delta V=\left({\mathrm{πr}}_2+{\mathrm{πr}}_1\right)h=2\mathrm{πr}\Delta r\)

dengan : \(\frac{{\mathrm r}_2+{\mathrm r}_1}2=r\) (rata-rata, jari-jari); \({\mathrm r}_2+{\mathrm r}_1=\mathrm{Δr}\).

Bila daerah yang dibatasi oleh \(\mathrm y=\mathrm f\left(\mathrm x\right), \mathrm y=0, \mathrm x=\mathrm a, \mathrm x=\mathrm b\) diputar mengelilingi sumbu-y, maka kita dapat memandang bahwa jari-jari \(\mathrm r=\mathrm x\) dan \(\mathrm{Δr}=\mathrm{Δx}\) dan tinggi tabung \(\mathrm h=\mathrm f\left(\mathrm x\right)\). Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}2\mathrm{πxf}\left(\mathrm x\right)\mathrm{dx}\)

Misal daerah dibatasi oleh kurva \(\mathrm y=\mathrm f\left(\mathrm x\right)\), \(\mathrm y=\mathrm g\left(\mathrm x\right)\), \(\mathrm f\left(\mathrm x\right)\geq\mathrm g\left(\mathrm x\right)\), \(\mathrm x\in\left[\mathrm a,\mathrm b\right]\), \(\mathrm x=\mathrm a\) dan \(\mathrm x=\mathrm b\) diputar mengelilingi sumbu-y. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

\(\mathrm V=\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}2\mathrm{πx}\left(\mathrm f\left(\mathrm x\right)-\mathrm g\left(\mathrm x\right)\right)\mathrm{dx}\)

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan \(\mathrm x=\mathrm f\left(\mathrm y\right)\), \(\mathrm x=0\), \(\mathrm y=\mathrm c\), \(\mathrm y=\mathrm d\) diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

\(\mathrm V=\int_{\mathrm c}^{\mathrm d}2\mathrm{πyf}\left(\mathrm y\right)\mathrm{dy}\)

Sedangkan untuk daerah yang dibatasi oleh \(\mathrm x=\mathrm f\left(\mathrm y\right)\), \(\mathrm x=\mathrm g\left(\mathrm y\right)\), \(\mathrm f\left(\mathrm y\right)\geq\mathrm g\left(\mathrm y\right)\), \(\mathrm y\in\left[\mathrm c,\mathrm d\right]\), \(\mathrm y=\mathrm c\) dan \(\mathrm y=\mathrm d\) diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

\(\mathrm V=\int_{\mathrm c}^{\mathrm d}2\mathrm{πy}\left(\mathrm f\left(\mathrm y\right)-\mathrm g\left(\mathrm y\right)\right)\mathrm{dy}\)

Contoh

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh \(y=\sqrt x\), \(x=4\), \(y=0\); mengelilingi sumbu \(x=4\)

Jawab

Jika irisan diputar terhadap garis \(x=4\) akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari \(4-x\) dan tinggi tabung \(\sqrt x\)

Sehingga diperoleh,

\(\Delta V\approx2\mathrm\pi\left(4-\mathrm x\right)\sqrt{\mathrm x}\Delta x\)

\(0\leq x\leq4\)

Sehingga diperoleh,

\(\mathrm V=\int_0^42\mathrm\pi\left(\left(4-\mathrm x\right)\sqrt{\mathrm x}\right)\mathrm{dx}\)

    \(=2\mathrm\pi\int_0^4\left(4\sqrt{\mathrm x}-\mathrm x^\frac32\right)\mathrm{dx}\)

    \(=2\mathrm\pi\left[\frac83\mathrm x^\frac32-\frac25\mathrm x^\frac52\right]_0^4=\frac{17}{15}\mathrm\pi\)

\(\mathrm V=\frac{17}{15}\mathrm\pi\approx3,56\) satuan volume